Ecuaciones de Lotka-Volterra: modelo presa depredador

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Si nos fijamos en la línea azul, la coordenada x en cada punto indica el número de presas y la coordenada y el número de depredadores. La evolución a lo largo del tiempo que hemos representado antes, se obtiene al recorrer esta curva en sentido antihorario. Podemos ver también como el campo de direcciones nos señala la tendencia del sistema en cada situación. Por ejemplo, una flecha que apunta hacia arriba a la derecha indica que con ese número de cebras y leones en nuestra sabana, la tendencia será que aumenten ambos.

Llegados a este punto podemos preguntarnos qué habría ocurrido si el número inicial de cebras y leones hubiese sido otro. Como ya sabemos integrar ecuaciones diferenciales, bastaría con cambiar nuestra x0 e y0 y repetir el proceso (incluso podríamos hacer un widget interactivo). Sin embargo, se puede demostrar que a lo largo de las líneas del mapa de fases, como la que hemos pintado antes, se conserva la cantidad:

$$ C = alpha ln{y} – beta y + gamma ln{x} -delta x $$

Por tanto, pintando un contour de esta cantidad podemos obtener la solución para distintos valores iniciales del problema.

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