Integrando ecuaciones diferenciales: método leapfrog en Python

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Introducción

En Python tenemos numerosas herramientas listas para que podamos integrar ecuaciones diferenciales ordinarias sin tener que preocuparnos en implementar un esquema numérico. Sin ir más lejos, en el módulo integrate de SciPy existen varias funciones a tal efecto. La función odeint es una interfraz en Python a la biblioteca ODEPACK, escrita en Fortran. Sin embargo, con un propósito didáctico vamos a estudiar cómo programaríamos la solución a un problema de ecuaciones diferenciales, en este caso utilizando la regla del punto medio o método leapfrog[1].

Para esta entrada se ha utilizado python 2.7.2, numpy 1.6.1 y matplotlib 1.1.0.

Enunciado

Problema de Cauchy: integrar la siguiente ecuación diferencial

$frac{d^2 x}{d t^2} + x = 0$

Con las condiciones iniciales $x(0) = 1, dot{x}(0) = 0$.

Tratamiento matemático

Sabemos que la solución …

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